Giả sử các góc $A, B, C$ của tam giác $ABC$ thỏa mãn đẳng thức:  (cos A + cos B + cos C = 2left( {cos Acos B + cos Bcos C + cos Ccos A} right)) Chứng minh rằng tam giác $ABC$ là tam giác đều. – Hello Math


Trước hết ta nhận xét rằng trong mọi tam giác luôn có đẳng thức quen thuộc:
(0 Đẳng thức xảy ra ( Leftrightarrow Delta ABC)đều

Dễ thấy  (xy + yz + zx le {x^2} + {y^2} + {z^2}{rm{  }}forall x,y,z)  (đẳng thức xảy ra  ( Leftrightarrow x = y = z))
( Rightarrow 3left( {xy + yz + zx} right) le {left( {x + y + z} right)^2})
Do đó:
(3left( {cos Acos B + cos Bcos C + cos Ccos A} right) le left( {cos A + cos B + cos C} right)^2)
                                                                            (le frac{3}{2}left( {cos A + cos B + cos C} right))
(Rightarrow 2left( {cos Acos B + cos Bcos C + cos Ccos A} right) le cos A + cos B + cos C     forall Delta ABC)

Đẳng thức xảy ra ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
cos A + cos B + cos C = frac{3}{2}
3left( {cos Acos B + cos Bcos C + cos Ccos A} right) = {left( {cos A + cos B + cos C} right)^2}
end{array} right.)
( Leftrightarrow Delta ABC) đều
Vì vậy (cos A + cos B + cos C = 2left( {cos Acos B + cos Bcos C + cos Ccos A} right))( Leftrightarrow Delta ABC) đều

(Lời giải bài toán đã chứng minh mệnh đề hai chiều)

Hoc toan online



The math online

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *